Viti senza fine e madreviti a sezione trapezia

Il sistema vite madrevite e' uno dei principali sistemi meccanici per la movimentazione lineare o traslazione.
Esistono molte tipologie in funzione delle diverse esigenze di velocita', precisione, carico.
La tipologia presa in esame e' quella classica a sezione trapezia a una o due eliche.

Rendimenti molto maggiori vengono offerti da viti a sezione semicircolare o a sezione semicircolare con madreviti dotate di sfere che eliminano totalmente lo strisciamento tra la superfice vite-madrevite

Materiali per la madrevite

• ACCIAIO: notevole resistenza meccanica. Indicati per sistemi di fissaggio o comunque sistemi di movimentazione a bassa velocita' e carico tale da evitare il grippaggio
• BRONZO: buona resistenza all'usura e basso coefficiente d'attrito nell'accoppiamento vite-madrevite. Indicato quando e' richiesta una frequente movimentazione anche con velocita relativamente elevate

Sollecitazioni meccaniche e dinamiche

Il sistema vite-madrevite non e' indicato per sopportare sollecitazioni di flessione o di taglio. Nel caso fossero presenti e' necessario compensarle con altri dispositivi.  

Carichi assiali e di trazione e compressione

Quando il sistema e' caricato in trazione o compressione e' necessario considerare il carico unitario massimo nominale che per viti in acciaio con madrevite in bronzo puo' assumere valori tra 55.000 per vite da12mm di diam fino 200.000 N per viti da 25mm di diametro.

In caso di sollecitazione a compressioni su viti snelle (basso rapporto tra la sezione e la lunghezza) e' necessario considerare anche il carico di punta per evitare fenomeni di flessione laterale.

NOTA: si ricorda che per l'acciaio il carico di rottura nominale a compressione e' circa uguale a quello di trazione.

Velocita' critica (colpo di frusta)

E' la frequenza di rotazione oltre la quale si verifica il "colpo di frusta" cioe' fenomeni di vibrazione della vite con conseguenti instabilita' del sistema.
Dipende da:

• Diametro della vite
• Tipo di vincoli all'estremita' della vite (estremita' libera, ancorata su cuscinetti, ancorata con doppi cuscinetti)
• Lunghezza della vite

Nel caso di vite ancorata ad entrambe le estremita' su cuscinetti si ha un valore nominale di 1100rpm per una vite di 14mm di diametro lunga 1m.

Il valore piu' sensibile e' la lunghezza della vite e in minor misura la sua sezione.

Grippaggio

Un altro vincolo sulla velocita' della madrevite e' posto dal grippaggio con la vite che. Dipende essenzialmente dalla quantita' di attrito tra vite e madrevite e dalle condizioni dell'ambiente di lavoro. In generale si evita il grippaggio soprattutto ad alte velocita' utilizzando una buona lubrificazione con madreviti in bronzo o in teflon.

Usura del sistema

• coefficiente d'attrito fra le superfici a contatto vite madrevite
• velocita' relativa di strisciamento
• pressione superficiale tra i contatti dei filetti
• condizioni di esercizio (lubrificazione, temperatura ambiente, presenza di agenti aggressivi)

Precisione del sistema vite-madrevite

Quando il sistema vite-madrevite deve essere utilizzato come sistema di posizionamento e' necessario valutare se la precisione del passo della vite garantisce la precisione di posizionamento richiesta.

Per una vite di buona fattura si puo' avere una errore di 0.1 mm su 300 mm di vite.

Un altro fattore da considerare e' il gioco assiale A e radiale R tra vite e madrevite
Tali parametri assumono valori mominali tipici:

A = +/- 0.1..0.25mm
R = +/- 0.15..0.3 mm

Il gioco puo' essere parzialmente compensato utilizzando lubrificanti adeguati

Pressione superficiale di contatto

La pressione superficiale di contatto e' data dal rapporto tra la forza assiale sulla vite-madrevite e l'area di appoggio dei filetti della madrevite con quelli della vite. L'area di appoggio dipende dalla forma del filetto e dal rapporto diametro-lunghezza della madrevite

Rendimento, carico assiale, coppia, potenza

Momento torcente M [Nm]

Fa = carico assiale agente sulla madrevite [N]
p = passo dell'elica [mm]
h = rendimento del sistema vite-madrevite
1000 = fattore di conversione mm/m

Potenza di azionamento della vite P [W]

M = momento torcente [Nm]
n = velocita' di rotazione della vite [rpm]
9.55 = fattore di conversione

da queste relazioni si calcola la potenza necessaria date la caratteristica della vite espressa dal rendimento e dal passo dell'elica e dato il carico assiale a cui e' sottoposta la vite:

Rendimenti tipici coppia-potenza (h)

La tabella riporta dei valori tipici per sistemi vite in acciaio 2 eliche (principi) e madrevite in acciao o bronzo.

Diametro x passo [mm]	Dinamico a secco		Primo distacco a secco		Dinamico lubrificato		Primo distacco lubrificato
	Bronzo	Acciaio	Bronzo	Acciaio	Bronzo	Acciaio	Bronzo	Acciaio
12 x 6	0.33	0.31	0.27	0.26	0.39	0.41	0.31	0.29
14 x 8	0.47	0.44	0.39	0.36	0.51	0.49	0.41	0.40
16 x 8	0.36	0.34	0.31	0.28	0.43	0.38	0.36	0.35
18 x 8	0.33	0.33	0.28	0.28	0.37	0.37	0.32	0.31

Come si puo' notare la madrevite in bronzo offre un rendimento maggiore, cosi' come la vite a due filetti ha un rendimento maggiore di quella a un filetto dovuto alla minore inclinazione della parte del singolo filetto.

I dati riportati in tabella sono relativi al momento torcente necessario ad azionare la vite in presa sulla relativa madrevite impedita di ruotare e sottoposta a carico assiale costante

Irreversibilita' del moto

dove h e' il rendimento di coppia potenza del moto diretto

La reversibilita' del moto del sistema vite madrevite dipende dal rendimento del sistema che a sua volta dipende dal coefficiente di attrito fra le superfici a contatto e dall'angolo di inclinazione dell'elica.

Un sistema irreversibile deve avere h_r = 0 da cui si calcola facilmente che affinche' un sistema sia irreversibile deve avere un rendimento del moto diretto minore di 0.5. (Per garantire l'assoluta irreversibilita' del moto e' consigliato utilizzare viti con rendimento minore di 0.35)
 

Velocita' della madrevite Va [m/s]

n: Velocita di rotazione della vite [rpm]
p: passo dell'elica [mm]
60 [min/sec] ,1000 [mm/m] fattori di conversione min/sec

Calcolo della coppia motrice (C_m)

Per muovere la madrevite con una data accelerazione e' necessario imprimerle una forza Fa che deve almeno superare la forza di attrito f. Il problema si puo' dunque semplificare come segue:

A questo punto e' immediata l'applicazione della II legge di Newton per cui vale:

La forza d'attrito f e' proporzionale al carico N e vale f_k = m_k N se la madrevite e' in movimento. Altresi' affiche' la madrevite possa cominciare a muoversi e' necessario applicare una forza Fa > fs,max= m_s N che' la forza d'attrito statico.

Le ms e mk sono le costanti di attrito statico e dinamico e dipendono dal tipo di superfici poste a sfregamento, sono valori tabellati e ricavati sperimentalmente:  

Tipo di Superfici	ms	mk
Acciaio su acciaio	0.74	0.57
Alluminio su acciaio	0.61	0.47
Gomma su cemento	1	0.8
Teflon su Teflon	0.04	0.04
Metallo su metallo (lubrificato)	0.15	0.06

Possiamo dunque concludere che le equazioni che regolano il moto della madrevite sono:

Dove Fa_s Fa_k sono rispettivamente la forza necessaria allo spunto e la forza necessaria ad imprimere una accelerazione data.

Tornando al sistema vite-madrevite e' ovvio osservare che la Fa e' la forza tangenziale a cui e' sottoposto il sistema pertanto utilizziamo Fa per determinare il momento torcente a cui sottoporrte la vite per impemere un movimento desiderato alla madrevite.

Infatti si e' mostrato in precedenza che tale momento vale  da cui otteniamo:

Coppia necessaria allo spunto

Coppia necessaria durante il moto

Esempio

Sia il sistema vite madrevite composto da una vite due principi con madrevite in bronzo 
non lubrificato con passo p=2x4 mm. Dato l'insieme carico+madrevite avere una massa 
pari a M=2Kg e sposto a strisciare su un piano metallico lubrificato, calcolare:

la forza necessaria allo spunto e la foza necessaria ad imprimere una 
accellerazione di amax=4 m/s2;
la coppia motrice necessaria per tale azionamento;
la massima velocita' di traslazione della madrevite ottenuta utilizzando un 
motore a 1600 rpm max.

Calcolo la forza:
N = M g = 2Kg x 9.81 m/s2 = 19.62N

Dalla tabella ricavo i coefficenti di attrito statico e dinamico:
ms = 0.15 ;   mk = 0.06

e quindi le relative forze di resistenti:
Fas = ms N = 0.15 x 19.62N = 2.94N
Fak = mk N + m a = 0.04 x 19.62N + 2Kg x 4m/s2 = 8,8N

Infine sempre dalle tabelle ricavo il rendimento del sistema vite-madrevite:
hs= 0.39 ;       hk = 0.47 ;



Quindi dalle relazioni precedenti la velocita' della madrevite vale

V = n p/(60 x 1000)
Si osserva che la vite non puo' superare una velocita' ideale di 1100 rpm pena 
il verificarsi del fenomeno di colpo di frusta pertanto si assumendo un 
coefficiente di sicurezza pari a 1.5 e si ottiene 

nmax = 1100 / 1.5 = 733rpm
Vmax= 733rpm x 8 x 2 /60000 = 0.1m/s

Avendo cura che il motore non superi la velocita' di rotazione massima consentita
dalla vite n < 733 rpm