Scrivendo l’equazione per la conservazione delle masse si ha:

dove:

r: densita dell’acqua

A: sezione del serbatoio

l: livello dell’acqua

w_e,w_u: rispettivamente portata entrante e portata uscente

• Siamo di fronte ad un tipico fenomeno di accumulo. Il livello infatti integra la portata
• il modello e’ chiaramente lineare

dove:

p: pressione del liquido in ingresso

x: posizione dello stelo

w_o,r_o,x_o:costanti di normalizzazione

• In questo sistema l’ingresso p e l’uscita w_u sono legate da una relazione algebrica che non dipende dal tempo. Nel sistema non c’e’ dinamica quindi si dice algebrico
• Il Sistema e’ non lineare dato che la variabile d’uscita w_u dipende dalla radice quadrata della variabile d’ingresso p

Nel caso in cui la valvola e’ collegata al fondo del serbatio si ha che la pressione all’ingresso dell valvola e’ pari alla pressione di fondo del serbatoio. Quindi

sostituendo:

si ha:

Ora possiamo scrivere le equazioni del modello completo:

Il sistema serbatoio+valvola e’ dunque un sistema del primo ordine perche’ esiste solo una derivata prima ed e’ non lineare perche’ le varibili di ingresso ed uscita sono legate da una relazione di radice che e’ un operatore non lineare.

La non linearita’ e’ data dalla relazione che lega la portata di uscita Wu al livello l.

In sostanza la variazione di livello Dl che si ha con una variazione dell’apertura della valvola Dx dipende dal valore di Wu al momento in cui viene impressa la variazione allo stelo (cosi’ dicasi per le altre variabili).

Per rendere lineare il sistema cosideriamo un punto di equilibrio ed approssimiamo il sistema con uno simile ma lineare.

L’approssimazione piu’ semplice che possiamo fare e’ quella di considerare la tangente al sistema nel punto di lavoro, cioe’ approssimiamo in sistema con una retta passante per il punto di lavoro ed avente pendenza paria alla derivata del sistema in quel punto

Analiticamente il primo passo da fare e’ determinare il puntodi equilibrio, cioe’ il livello costante:

Considero ora solo le differenze rispetto ai valori di regime:

Ora andiamo a sostituire alle relazioni non lineari le corrispondenti derivate prime calcolate nel puno di regime e considerando solo le variazioni rispetto a questo.

L’equazione di stato del serbatorio e’ gia’ lineare pertanto sostiuiamo solo le variabili con le rispettive variazioni:

Lequazione della valvola e’ non lineare quindi dobbiamo estrarne la derivata. Siccome e’ una funzione di tre variabili Wu,x,l e’ necessario ricorrere alle derivate parziali:

per semplicita’ estraiamo il logaritmo della relazione

derivando rispetto alle singole variabili si ha:

trasformado secondo Laplace le equazioni dele serbatoio e della valvola si ha:

ponendo:

ed eliminando Dw_u si ottiene:

e sostituendo

si ottiene:

Che e’ la funzione di trasferimento del livello rispetto la portata di ingresso e la posizione dello stelo della valvola.

Vediamo lo schema a blocchi che se consegue:

Come e’ stato messo in evidenza i parametri del sistema linearizzato dipendono dai valori di equilibrio di livello l,posizione stelo x e portata w. Per simulare il sistema e’ dunque necessario fissare il punto di equlibrio e determinare i parametri che ne conseguono

Fissiamo ad esempio il livello e la posizione dello stelo. e calcoliamo la portata di equilibrio

ricordo che

sono costanti di normalizzazione. Inoltre e’ stato considerato:

Possiamo costruire il modello simulnk del sistema reale a partire dalle relazioni: