w (portata fluido m³/s) è costante per tutte le celle (fluido incomprimibile)

Consideriamo ora le equzioni per la cella i+1:

Conservazione dell’energia del fluido (interno):

Conservazione dell’energia per il metallo:

Esprimiamo ora le energie e le potenze in termini delle variabili del sistema:

• energia della cella i+1

M: massa totale del fluido interno allo scambiatore.
M/n: massa di fluido in una cella;
_i+1: temperatura media del fluido nella cella i+1;
n: numero delle celle in cui viene scomposto il tubo;
• energia pareti metallo della cella i+1

M_m: massa totale del metallo che compone lo scambiatore;
c_m: calore specifico del metallo;
_m(1+1): temperatura media del metallo nella cella i;
• Calore scambiato tra il fluido interno ed il metallo
  g(gamma) : coefficente di scambio termico fluido parete [W/m²°C];
  A: superfice di scambio fluido parete;

• Calore scambiato tra il metallo ed il fluido esterno:

NOTA: g (gamma) dipende dalla velocità relativa del fluido rispetto alla parete quindi dalla portata. Se si tratta di parete di una tubazione metallica percorsa da un fluido di portata w si ha:

Per semplicità qui viene considerata costante ed è uguale per tutto il fluido interno e tutto il fluido esterno. Inoltre è stata trascurata la differenza tra la superfice di scambio A interna ed esterna.

A questo punto possiamo scrivere le equazioni del sistema:

Il sistema è non lineare per via dei prodotti wT_i e wT_i+1, dobbiamo dunque linearizzare il sistema ponendoci in una situazione di equilibrio in cui non si considerano variazioni di portata: la portata è costante => w=. In questo modo il sistema diventa lineare e si può considerare la trasfomata di Laplace:

dalla seconda equazione si ricava subito:

La temperatura media del metallo per una cella, è caratterizzata da una sola costante di tempo. In sostanza c’è un ritardo di trasmissione del calore dal fluido esterno a quello interno: prima che il calore trasmesso dal fluido esterno raggiunga la parte interna trascorre un tempo tau_m

Siccome la Fdt appena trovata ha guadagno unitario possiamo supporre che in una situazione d’equilibrio tutto il calore esterno raggiunge il fluido interno. Possiamo dunque trascurare lo scambio di calore con il metallo, quindi Q_i+1 = Q_e

Risposta alla temperatura del fluido in ingresso T_i

E’ Intuitivo che il processo di trasmissione del calore all’interno dello scambiatore sarà caratterizzato da un ritardo puro pari alla velocità del fluido: tau =(Delta x)/v  con v  la velocità del fluido o scritto in altra forma tau =M/w  con M  la massa del fluido e w  la portata. Per determinare esattamente il trasferimento del calore dall’inizio alla fine del fluido poniamo inizialmente Q = 0.

In queste condizioni il bilancio d’energia per la cella i+1 e dato dalla seguente espressione:

se w  è costante allora è possibile calcolare la FdT tra la temperatura di ingresso e quella di uscita di una singola cella . Per torvare questa relazione bisogna rendere esplicita la temperatura media di una singola cella

• IPOTESI 1: in una cella, la temperatura media è uguale alla temperatura d’uscita

allora si può scrivere:

in questo caso ogni cella introduce una costante di tempo pari ad un n-esimo del ritardo puro della trasmissione per tutto il tubo. L’insieme delle n celle in cascata produce un uscita che approssima grossolanamente il ritardo puro:

• IPOTESI 2: la temperatura media è pari alla media tra le temperature del fluido di ingresso ed uscita

In questo caso ogni cella introduce un ritardo caratterizzato da un polo ed uno zero che meglio approssima il ritardo puro. (G_C2(s) è proprio l’approssimazione di Padè del ritardo puro)

La risposta di G_C2(s) è meno fisica rispetto a G_R(s) e G_C1(s) tuttavia ha un diagramma della fase (< 180°) più simile a quello del ritardo puro in cui la fase dipende in modo lineare dalla pulsazione. Quindi dal punto di vista del progetto del controllore risulta più realistico.

In definitiva il la Fdt dell’intero scambiatore G_T(s) è la cascata di n celle pertanto:

Risposta a variazioni della potenza incidente (Q <>0)

La potenza incidente è quella fornita dall’esterno ad esempio con un fluido a temperatura maggiore. Ogni cella riceve una quantità di calore pari a Q/n dove Q è il calore fornito. Partiamo dalla conservazione dell’energia per il fluido interno

Linearizziamo l’espressione ponendo:

e ricordando che:

si ottiene il sistema linearizzato:

dividendo tutto per c_p, considerando che la temperatura di una singola cella è data dalla differenza di temperatura del fluido agli estremi del tubo diviso il numero delle celle (ipotesi 1) si ottiene:

da cui si calcola la Fdt della variazione di temperatura per la cella i+1:

ro=1000;
cp=1000;

A=.002;                   %sezione dello scambiatore
l=20;                     %lunghezza scambiatore
M=ro*A*l;                 %massa del liquido
n=4;                      %numero celle
T4eq=540;                 %temperatura di uscita
T0eq=300;                 %temperatura di ingresso
weq=10;                   %portata di equilibrio
Qeq=cp*weq*(T4eq-T0eq);   %potenza termia imposta
DTcell=(T4eq-T0eq)/n;     %salto termico tra le celle
T1eq=T0eq+DTcell;
T2eq=T1eq+DTcell;
T3eq=T2eq+DTcell;