Modello dello scambiatore di calore

Fig. 1 Tubo metallico percorso internamente da un fluido ed immerso in un altro fluido.

Ipotesi modellistiche

• fluido interno incomprimibile (liquido): la sua densità è costante;
• fluido esterno a capacità termica infinita: la sua temperatura T_e non dipende dal calore scambiato ed è impostata.

Peculiarità del sistema

Le variabili del problema (temperatura del fluido interno T, temperatura del metallo T_m) dipendono non solo dal tempo, ma anche dalla coordinata spaziale x (sono dunque uniformi in una sezione ortogonale all'asse del tubo):

Modelli di questo tipo si dicono a parametri distribuiti, diversamente da quelli fin ora visti che si dicono a parametri concentrati. Per i modelli distribuiti cambia la formulazione matematica del modello:

modelli a parametri concentrati => equazioni differenziali ordinarie es:

modelli a parametri distribuiti => equazioni differenziali alle derivate parziali es:

I sistemi a parametri distribuiti sono diffcili da studiare e da simulare. SIMULINK consente di simulare solo il ritardo puro che è il più semplice sistema a parametri distribuiti nelle variabili t e t :

y(t) = u(t-t ) => Y(s) = e -^st U(s)

Pur essendo possibile una modellizzazione accurata dello scambiatore di calore per mezzo dei sistemi a parametri distribuiti, è possibile approssimare il sistema con un modello a parametri concentrati

Fig. 2 Approssimazione scambiatore calore in celle

w (portata fluido m³/s) è costante per tutte le celle (fluido incomprimibile)

Consideriamo ora le equzioni per la cella i+1:

Conservazione dell'energia del fluido (interno):

E_i+1: Energia accumulata nel fluido della cella i+1

c_p: Calore specifico del fluido

Q_i+1: Potenza termica scambiata dal fluido della cella i+1 co il metallo

Conservazione dell'energia per il metallo:

E_m(i+1): Energia accumulata nel fluido della cella i+1

Q_e(i+1): potenza termica scambiata dal metallo nella della i+1 con il fluido esterno

Fig. 3 Bilancio energetico cella i+1. In questa situazione ogni cella rappresenta un serbatoio

Esprimiamo ora le energie e le potenze in termini delle variabili del sistema:

M: massa totale del fluido interno allo scambiatore.

M/n: massa di fluido in una cella;

i+1: temperatura media del fluido nella cella i+1;

n: numero delle celle in cui viene scomposto il tubo;

_m(1+1): temperatura media del metallo nella cella i;

• energia della cella i+1
• energia pareti metallo della cella i+1

  

  M_m: massa totale del metallo che compone lo scambiatore;

  c_m: calore specifico del metallo;

• Calore scambiato tra il fluido interno ed il metallo

γ: coefficente di scambio termico fluido parete [W/m²°C];

A: superficie di scambio fluido parete;

• Calore scambiato tra il metallo ed il fluido esterno:

  

T_e: temperatura fluido esterno. T_e è costante perchè il fluido esterno è stato considerato a capacità termica infinita (vedi ipotesi iniziali)

Per semplicità γ viene considerata costante ed è uguale per tutto il fluido interno e tutto il fluido esterno. Inoltre è stata trascurata la differenza tra la superficie di scambio A interna ed esterna.

A questo punto possiamo scrivere le equazioni del sistema:

Il sistema è non lineare per via dei prodotti wT_i e wT_i+1, dobbiamo dunque linearizzare il sistema ponendoci in una situazione di equilibrio in cui non si considerano variazioni di portata: la portata è costante => w=. In questo modo il sistema diventa lineare e si può considerare la trasfomata di Laplace:

dalla seconda equazione si ricava subito:

con

La temperatura media del metallo per una cella, è caratterizzata da una sola costante di tempo. In sostanza c'è un ritardo di trasmissione del calore dal fluido esterno a quello interno: prima che il calore trasmesso dal fluido esterno raggiunga la parte interna trascorre un tempo tau_m

Risposta alla temperatura del fluido in ingresso T_i

E' Intuitivo che il processo di trasmissione del calore all'interno dello scambiatore sarà caratterizzato da un ritardo puro pari alla velocità del fluido: tau =(Delta x)/v con v la velocità del fluido o scritto in altra forma tau =M/w con M la massa del fluido e w la portata. Per determinare esattamente il trasferimento del calore dall'inizio alla fine del fluido poniamo inizialmente Q = 0.

In queste condizioni il bilancio d'energia per la cella i+1 e dato dalla seguente espressione:

se w è costante allora è possibile calcolare la FdT tra la temperatura di ingresso e quella di uscita di una singola cella . Per torvare questa relazione bisogna rendere esplicita la temperatura media di una singola cella

IPOTESI 1: in una cella, la temperatura media è uguale alla temperatura d'uscita

allora si può scrivere:

in questo caso ogni cella introduce una costante di tempo pari ad un n-esimo del ritardo puro della trasmissione per tutto il tubo. L'insieme delle n celle in cascata produce un uscita che approssima grossolanamente il ritardo puro:

IPOTESI 2: la temperatura media è pari alla media tra le temperature del fluido di ingresso ed uscita

In questo caso ogni cella introduce un ritardo caratterizzato da un polo ed uno zero che meglio approssima il ritardo puro. (G_C2(s) è proprio l'approssimazione di Padè del ritardo puro)

Fig. 4 - Confronto delle le 2 ipotesi con il ritardo G_R(s) (tau = 100 secondi)

La risposta di G_C2(s) è meno fisica rispetto a G_R(s) e G_C1(s) tuttavia ha un diagramma della fase (< 180°) più simile a quello del ritardo puro in cui la fase dipende in modo lineare dalla pulsazione. Quindi dal punto di vista del progetto del controllore risulta più realistico.

In definitiva il la Fdt dell'intero scambiatore G_T(s) è la cascata di n celle pertanto:

G_T(s) = G_Cⁿ(s)

IPOTESI 1

IPOTESI 2

Risposta a variazioni della potenza incidente (Q <> 0)

La potenza incidente è quella fornita dall'esterno ad esempio con un fluido a temperatura maggiore. Ogni cella riceve una quantità di calore pari a Q/n dove Q è il calore fornito. Partiamo dalla conservazione dell'energia per il fluido interno

Linearizziamo l'espressione ponendo:

e ricordando che:

si ottiene il sistema linearizzato:

dividendo tutto per c_p, considerando che la temperatura di una singola cella è data dalla differenza di temperatura del fluido agli estremi del tubo diviso il numero delle celle (ipotesi 1) si ottiene:

da cui si calcola la Fdt della variazione di temperatura per la cella i+1:

Fig. 5 - Schema a blocchi di una cella

Simulazione Symulink-Matlab

Modello del sistema e dei regolatori realizzato in matlab scambcal.zip

• Il File SCAMCELL.MDL contiene il modello di uno scambiatore di calore composto da 4 celle.
• Il File SCAMCASC.MDL contiene la regolazione di una serie di due scambiatori di calore di cui solo uno con calore imposto.
• Il File SCAMPID.MDL contiene la regolazione con PID anti-windup di una serie di due scambiatori
• Il file SCAMRELE.MLD contiene la regolazione con relè di uno scambiatore

Dati per la simulazione (file datiscam.m)

ro=1000; 
cp=1000; 
A=.002;                   %sezione dello scambiatore  
l=20;                     %lunghezza scambiatore  
M=ro*A*l;                 %massa del liquido  
n=4;                      %numero celle  
T4eq=540;                 %temperatura di uscita  
T0eq=300;                 %temperatura di ingresso  
weq=10;                   %portata di equilibrio  
Qeq=cp*weq*(T4eq-T0eq);   %potenza termia imposta  
DTcell=(T4eq-T0eq)/n;     %salto termico tra le celle   


T1eq=T0eq+DTcell;  
T2eq=T1eq+DTcell;  
T3eq=T2eq+DTcell;