Viti senza fine e madreviti a sezione trapezia

Il sistema vite madrevite è uno dei principali sistemi meccanici per la movimentazione lineare o traslazione. Esistono molte tipologie in funzione delle diverse esigenze di velocità, precisione, carico. La tipologia presa in esame è quella classica a sezione trapezia a una o due eliche. 

Vite a sezione trapezia

La variante a due eliche (o principi) offre un maggiore rendimento cioè una maggiore capacità di trasferimento del moto rotatorio della vite al moto traslatorio della madrevite.

Rendimenti molto maggiori vengono offerti da viti a sezione semicircolare o a sezione semicircolare con madreviti dotate di sfere che eliminano totalmente lo strisciamento tra la superfice vite-madrevite

Materiali per la madrevite

• ACCIAIO: notevole resistenza meccanica. Indicati per sistemi di fissaggio o comunque sistemi di movimentazione a bassa velocità e carico tale da evitare il grippaggio
• BRONZO: buona resistenza all'usura e basso coefficiente d'attrito nell'accoppiamento vite-madrevite. Indicato quando è richiesta una frequente movimentazione anche con velocita relativamente elevate

Sollecitazioni meccaniche e dinamiche

Il sistema vite-madrevite non è indicato per sopportare sollecitazioni di flessione o di taglio. Nel caso fossero presenti è necessario compensarle con altri dispositivi.  

Carichi assiali e di trazione e compressione

Quando il sistema è caricato in trazione o compressione è necessario considerare il carico unitario massimo nominale che per viti in acciaio con madrevite in bronzo puo' assumere valori tra 55.000 per vite da12mm di diam fino 200.000 N per viti da 25mm di diametro.

In caso di sollecitazione a compressioni su viti snelle (basso rapporto tra la sezione e la lunghezza) è necessario considerare anche il carico di punta per evitare fenomeni di flessione laterale.

Si ricorda che per l'acciaio il carico di rottura nominale a compressione è circa uguale a quello di trazione.

Velocità critica (colpo di frusta)

La velocità critica è la frequenza di rotazione oltre la quale si verifica il "colpo di frusta" cioè fenomeni di vibrazione della vite con conseguenti instabilità del sistema.
Dipende da:

• Diametro della vite
• Tipo di vincoli all'estremità della vite (estremità libera, ancorata su cuscinetti, ancorata con doppi cuscinetti, ecc..)
• Lunghezza della vite

Nel caso di vite ancorata ad entrambe le estremità su cuscinetti si ha un valore nominale di 1100rpm per una vite di 14mm di diametro lunga 1m.

Il valore piu' sensibile è la lunghezza della vite e in minor misura la sua sezione.

Grippaggio

Un altro vincolo sulla velocità della madrevite è posto dal grippaggio con la vite. Dipende essenzialmente dalla quantità di attrito tra vite e madrevite e dalle condizioni dell'ambiente di lavoro. In generale si evita il grippaggio soprattutto ad alte velocità utilizzando una buona lubrificazione con madreviti in bronzo o in teflon.

Usura del sistema

Dipende essenzialmente da:

• coefficiente d'attrito fra le superfici a contatto vite madrevite
• velocità relativa di strisciamento
• pressione superficiale tra i contatti dei filetti
• condizioni di esercizio (lubrificazione, temperatura ambiente, presenza di agenti aggressivi)

Precisione del sistema vite-madrevite

Quando il sistema vite-madrevite deve essere utilizzato come sistema di posizionamento è necessario valutare se la precisione del passo della vite garantisce la precisione di posizionamento richiesta.

Per una vite di buona fattura si puo' avere una errore di 0.1 mm su 300 mm di vite.

Un altro fattore da considerare è il gioco assiale A e radiale R tra vite e madrevite
Tali parametri assumono valori mominali tipici:

A = +/- 0.1..0.25mm
R = +/- 0.15..0.3 mm

Gioco assiale (A) e radiale (R) della madrevite

A questo proposito è da considerare il fatto che se la madrevite non è dotata di flangia di fissaggio per la parte da movimentare sarà necessario operare una saldatura direttamente sulla madrevite con conseguente deformazione che tende a ridurre il gioco

Il gioco può essere parzialmente compensato utilizzando lubrificanti adeguati

Pressione superficiale di contatto

La pressione superficiale di contatto è data dal rapporto tra la forza assiale sulla vite-madrevite e l'area di appoggio dei filetti della madrevite con quelli della vite. L'area di appoggio dipende dalla forma del filetto e dal rapporto diametro-lunghezza della madrevite

Rendimento, carico assiale, coppia, potenza

Momento torcente M [Nm]

Fa = carico assiale agente sulla madrevite [N]
p = passo dell'elica [mm]
η = rendimento del sistema vite-madrevite
1000 = fattore di conversione mm/m

Potenza di azionamento della vite P [W]

M = momento torcente [Nm]
n = velocità di rotazione della vite [rpm]
9.55 = fattore di conversione

da queste relazioni si calcola la potenza necessaria date la caratteristica della vite espressa dal rendimento e dal passo dell'elica e dato il carico assiale a cui è sottoposta la vite:

Rendimenti tipici coppia-potenza (η)

La tabella riporta dei valori tipici di rendimento per sistemi vite in acciaio 1 elica (principi) e madrevite in acciao o bronzo.  

La tabella riporta dei valori tipici di rendimento per sistemi vite in acciaio 2 eliche (principi) e madrevite in acciao o bronzo.

Diametro x passo [mm]	Dinamico a secco (ηk)		Primo distacco a secco (ηs)		Dinamico lubrificato (ηk)		Primo distacco lubrificato (ηs)
	Bronzo	Acciaio	Bronzo	Acciaio	Bronzo	Acciaio	Bronzo	Acciaio
12 x 6	0.33	0.31	0.27	0.26	0.39	0.41	0.31	0.29
14 x 8	0.47	0.44	0.39	0.36	0.51	0.49	0.41	0.40
16 x 8	0.36	0.34	0.31	0.28	0.43	0.38	0.36	0.35
18 x 8	0.33	0.33	0.28	0.28	0.37	0.37	0.32	0.31

Come si puo' notare la madrevite in bronzo offre un rendimento maggiore, così come la vite a due filetti ha un rendimento maggiore di quella a un filetto dovuto alla minore inclinazione della parte del singolo filetto.

I dati riportati in tabella sono relativi al momento torcente necessario ad azionare la vite in presa sulla relativa madrevite impedita di ruotare e sottoposta a carico assiale costante

Irreversibilità del moto

La reversibilità del moto permette di trasformare il moto lineare della madrevite in moto rotatorio della vite (moto retrogrado). In generale il rendimento del moto retrogrado vale:

dove η è il rendimento di coppia potenza del moto diretto

La reversibilità del moto del sistema vite madrevite dipende dal rendimento del sistema che a sua volta dipende dal coefficiente di attrito fra le superfici a contatto e dall'angolo di inclinazione dell'elica.

Un sistema irreversibile deve avere η_r = 0 da cui si calcola facilmente che affinchè un sistema sia irreversibile deve avere un rendimento del moto diretto minore di 0.5. (Per garantire l'assoluta irreversibilità del moto è consigliato utilizzare viti con rendimento minore di 0.35)
 

Velocità della madrevite Va [m/s]

• n: Velocità di rotazione della vite [rpm]
• p: passo dell'elica [mm]
• 60 [min/sec] ,1000 [mm/m] fattori di conversione min/sec

Calcolo della coppia motrice (C_m)

La coppia motrice è la coppia che deve sviluppare il motore per movimentare la madrevite sottoposta ad un dato carico N. Quando la madrevite si sposta lungo la base provoca una forza d'attrito f opposta alla direzione di moto e che dipende dal carico N e dal tipo di superfici poste a strisciamento.

Per muovere la madrevite con una data accelerazione è necessario imprimerle una forza Fa che deve almeno superare la forza di attrito f. Il problema si puo' dunque semplificare come segue:

A questo punto è immediata l'applicazione della II legge di Newton per cui vale:

La forza d'attrito f è proporzionale al carico N e vale f_k = μ_k N se la madrevite è in movimento. Inoltre, affichè la madrevite possa cominciare a muoversi è necessario applicare una forza Fa > f_{s max}= μ_s N chè la forza d'attrito statico.

Le μ_s e μ_k sono le costanti di attrito statico e dinamico e dipendono dal tipo di superfici poste a sfregamento, sono valori tabellati e ricavati sperimentalmente:

Tipo di Superfici	μs	μk
Acciaio su acciaio	0.74	0.57
Alluminio su acciaio	0.61	0.47
Gomma su cemento	1.00	0.80
Teflon su Teflon	0.04	0.04
Metallo su metallo (lubrificato)	0.15	0.06

Possiamo dunque concludere che le equazioni che regolano il moto della madrevite sono:

Dove Fa_s Fa_k sono rispettivamente la forza necessaria allo spunto e la forza necessaria ad imprimere una accelerazione data.

Tornando al sistema vite-madrevite è ovvio osservare che la Fa è la forza tangenziale a cui è sottoposto il sistema pertanto utilizziamo Fa per determinare il momento torcente a cui sottoporrte la vite per impemere un movimento desiderato alla madrevite.

Infatti si è mostrato in precedenza che tale momento vale  da cui otteniamo:

Coppia necessaria allo spunto

Coppia necessaria durante il moto

Esempio

Sia il sistema vite madrevite composto da una vite due principi con madrevite in bronzo non lubrificato con passo p=2x4 mm. Dato l'insieme carico+madrevite avere una massa pari a M=2Kg e sposto a strisciare su un piano metallico lubrificato, calcolare:

1. la forza necessaria allo spunto e la foza necessaria ad imprimere una accellerazione di a_max=4 m/s²;

2. la coppia motrice necessaria per tale azionamento;

3. la massima velocità di traslazione della madrevite ottenuta utilizzando un motore a 1600 rpm max.

Calcolo la forza:

N = M g = 2Kg x 9.81 m/s² = 19.62N

Dalla tabella ricavo i coefficenti di attrito statico e dinamico:

μ_s = 0.15 ;   μ_k = 0.06

e quindi le relative forze di resistenti:

F_as = μ_s N = 0.15 x 19.62N = 2.94N
F_ak = μ_k N + m a = 0.04 x 19.62N + 2Kg x 4m/s² = 8,8N

Infine sempre dalle tabelle ricavo il rendimento del sistema vite-madrevite:

η_s= 0.39 ; η_k = 0.47 ;

 

 

Quindi dalle relazioni precedenti la velocità della madrevite vale

V = n p/(60 x 1000)

Si osserva che la vite non puo' superare una velocità ideale di 1100 rpm pena il verificarsi del fenomeno di colpo di frusta pertanto si assumendo un coefficiente di sicurezza pari a 1.5 e si ottiene

n_max = 1100 / 1.5 = 733rpm

V_max= 733rpm x 8 x 2 /60000 = 0.1m/s

Avendo cura che il motore non superi la velocità di rotazione massima consentita dalla vite n < 733 rpm